更新时间：2023-11-17 22:48
对于一元函数来说，如果在该方程中出现因变量的二阶导数，我们就称为二阶（常）微分方程，其一般形式为F(x，y，y'，y'')=0。在有些情况下，可以通过适当的变量代换，把二阶微分方程化成一阶微分方程来求解。
二阶微分方程的一般形式是
其中，x是自变量，y是未知函数，y'是y的一阶导数，y''是y的二阶导数。
在有些情况下，可以通过适当的变量代换，把二阶微分方程化成一阶微分方程来求解。具有这种性质的微分方程称为可降阶的微分方程，相应的求解方法称为降阶法。下面介绍三种容易用降阶法求解的二阶微分方程。
1）y''=f(x)型
方程特点：右端仅含有自变量x，逐次积分即可得到通解，对二阶以上的微分方程也可类似求解。
例1 求方程y''=e2x-cosx的通解。
解：原方程两边积分两次，得通解
其中，C1，C2为任意常数。
2）y''=f(x,y')型
方程特点：右端函数表达式中不含有未知函数y。
由于y'也是x的未知函数，可设p(x)=y'，则原方程可降阶为
这是关于p的一阶微分方程，可求通解。
3）y''=f(y,y')型
方程特点：右端函数表达式中不含有自变量x。
令y'=p(y)，利用复合函数求导法则
原方程变为关于y，p的一阶方程
一般形如
（其中，f(x)是x的函数）的方程称为二阶常系数线性微分方程。
当f(x)=0时，方程
称为二阶常系数线性齐次微分方程；否则，方程（1）称为二阶常系数线性非齐次微分方程。
1）二阶常系数线性齐次微分方程的解
定理1（线性齐次微分方程通解的结构定理）如果函数y1(x)与y2(x)是(2)的两个线性无关的解，则函数
是齐次方程（2）的通解。（其中，C1、C2为两个独立的任意常数）
微分方程 的通解与其特征根的关系见下表1。
2）二阶常系数线性非齐次微分方程的解
定理2（线性非齐次微分方程通解的结构定理）如果y0是非齐次微分方程（1）的一个特解，而y*是对应的齐次微分方程（2）的通解，则y=y0+y*是方程（1）的通解。
对于比较简单的情形，可以用观察法找特解。但对于比较复杂的情形就不太容易了。为此，下面对于f(x)的几种常见形式，以表2列出找其特解的方法（待定系数法）（表2中Pm(x)=a0+a1x+a2x2+...+amxm为已知的多项式）。