更新时间:2024-04-16 04:22
序数,是表示次序的数目。汉语表示序数的方法较多。通常是在整数前加“第”,如:第一,第二。也有单用基数的。如:五行:一曰水,二曰火,三曰木,四曰金,五曰土。
此外还有些习惯表示法,如:头一回、末一次、首次、正月、大女儿、小儿子。序数后边直接连量词或名词的时候,可省去“第”,如:二等、三号、四楼、五班、六小队、1949年10月1日等。
序数原来被定义为良序集的序型,而良序集A的序型,作为从A的元素的属性中抽象出来的结果,是所有与A序同构的一切良序集的共同特征,即定义为{B|BA}。
这个定义从形式上看来是十分简单明了的,但在ZFC公理系统中不能证明它构成一个集合。事实上,{B|BA}是一个真类。因此,原来的那个定义是不成功的,必须修正,另走别的途径。设 α是一个良序集,ξ∈α,称S(ξ)={β∈α|β<ξ}为在良序集α中由ξ所生成的初始截段。
1923、1928年,J.冯·诺伊曼把序数定义为满足下述条件的良序集α:对于一切ξ∈α,S(ξ)=ξ。例如在集合9={0,1,2,…,8}中取一个元素2,S⑵={0,1}=2,9中任何其他元素也具有这个性质,所以9是一个序数。集A称为归纳集,如果①═∈A,②只要α∈A就有α′=α∪{α}∈A。归纳集A的存在性是由无限公理保证的。A的一切归纳子集之交N称为自然数集,它是最小的归纳集。N是良序的,并且其中任一元素n的初始截段S(n)={0,1,2,…,(n-1)}=n,所以N是一个序数,这个序数通常用ω表示。N的每一个元素n都是序数,称为有限序数。有限序数以属于每一个归纳集作为特征。其他序数称为超限序数,ω就是最小的超限序数。
1937年R,M.鲁宾逊给出了序数的另一等价定义,良序集<;α∈>;是一个序数,若〈α,∈〉是传递集,即只要x∈α且y∈x就有y∈α,这些定义没有康托尔原来定义的缺点。
第一种是0;第二种是某一序数α的后继α′=α∪{α},称为后继序数;其他序数属于第三种,称为极限序数。对于任何良序集A,必有一个且仅有一个序数α使A与α序同构,此时α称为A的序数,用凴 =α表示。任何两个具有相同序数的良序集,必定序同构,因此序数是同构良序集的共同特征,这正是康托尔序数概念的实质。
设αξ(ξ<λ)为一序数列,在集合A=(图一)中规定其任意两个元素〈γ,i〉、〈δ,j〉的次序如下:<γ,i><<δ,j>;当且仅当i
偏序全序和良序
设R是定义在A上的满足下列条件的二元关系:
①对于一切x∈A有xRx(自反性);
② 对于一切x,y∈A,由xRy与yRx可得x=y(反对称性);
③对于一切x,y,z∈A,由xRy与yRz可得xRz(传递性),就称R是定义在A上的偏序,也称半序。偏序R通常记为≤或≤,α≤b)读作α在b前。
集合A连同其上定义的偏序≤,称为偏序集,记为〈A,≤〉。实数集上的通常的大小关系、集合之间的被包含关系、自然数之间的可整除关系都是偏序的例。设≤为A上的偏序。如果在A上定义一个关系<;,使得x ①′对任何x∈A,x ②′由x 因此在偏序与严格偏序之中只需讨论一种就够了。设〈A,≤〉为一偏序集,如果x0∈A且在A中没有其他x使x≤x0,则称x0为A的一个极小元(素)。如果对于一切x∈A有x0≤x,则称x0为A中的最小元(素),正整数集在整除的偏序下1是最小元,但若只限于大于1的整数,则只有极小元(每个质数)而无最小元。 仿此可定义极大元与最大元。设x为偏序集〈A,≤〉的子集,如果存在α∈A,使得对于一切x∈x,有α≤x,则称α为x(关于A)的一个下界。如果x的关于A的一切下界有一最大元α0,就称α0为x(关于A)的下确界,记为infx。仿此可定义上界和上确界,后者记为supx。 A上的偏序≤,如果再加上条件④对于一切x,y∈A,总有x≤y或y≤x(至少有一成立),就称≤为A上的全序,也称线序。〈A,≤〉称为全序集。显然,在全序集中x 对于全序集〈A,≤〉如果再加上条件⑤A的任一非空子集都有最小元,就称≤为A上的良序,〈A,≤〉称为良序集。按任何顺序排起来的有限集,按自然顺序的自然数集,将所有奇数排在前面、所有偶数排在后面的自然数集{1,3,5,…,2,4,6,…}都是良序集之例。但整数全体,区间[0,1],就不是良序集。设,;为两个偏序集,如果存在A到B的双射φ使得对于一切x,y∈A,x≤1y当且仅当φ(x)≤2φ(y),便称两偏序集为序同构,记为A埍B。例如奇数集与偶数集序同构,但是上面列举的三个良序集没有两个是序同构的。