每一次这样的坐标变换就是晶体的一个对称操作(对称元)。晶体对称元的集合构成晶体对称群。描写晶体对称性的群有点群和空间群。点群是晶体中至少有一点保持不动的对称元的集合。而空间群则含平移和与平移分量组合的对称元。晶系与点群的关系点群晶系名称国际符号熊夫利符号对称操作数三斜11C1C1(S2)12单斜2m2/mC2C1h(Cs)C2h224正交222mm2mmmD2(V)C2VD2h(Vh)448三角33323m3m( 3 2/m)C3C3i(S6)D3C3dD3d366612四方444/m4224mm42m4/mmmC4S4C4hD4C4dD2d(Vd)D4h44888816六角666/m6226mm6m26/mmmC6C3hC6hD6C6dD3hD6h661212121224立方23m343243mm3mTThOTdOh1224242448晶体的对称操作　体对称性的基础是它的平移不变性，也就是空间周期性，以点阵或晶格来表征。晶体还具有旋转和反映的对称性。有限图形也具有这些对称操作，它在晶体中存在，就应该同时满足晶格周期性的限制。晶体中只能有n=1、2、3、4、6重旋转对称轴，不可能有5重、7重或更高的旋转对称轴，因为后面这些旋转对称轴与周期结构不相容。国际符号用n来表示旋转角为2π/n的旋转轴。熊夫利符号则用Cn(n=1、2、3、4、6)来表示。2重旋转轴再加上法线与轴重合的反映面两个对称操作组合在一起等同于以原点为对称中心的反演，即坐标(x,y,z)变换为(–x,–y,–z)晶体结构不变，此组合对称操作叫作反演。n重旋转轴与反演组合成的对称操作称为n重旋转反演轴，国际符号用n来表示。图1中示意画出这些对称轴。图1a为5种正当旋转轴，图1b为五种非正当旋转轴。若n重旋转轴又是反映面m的法线，则以n/m表示。由图1可看到6重旋转反演等价于3重旋转轴加反映面m，即6=3/m。此外，旋转轴和反映面还可与某个轴或面的非点阵平移组合成新的对称操作，即螺旋轴和滑移反映面。螺旋轴用np表示，p=1,2,…,n−1,如41代表4重螺旋轴，再沿轴方向平移p/n=1/4倍点阵滑移周期。滑移反映面的符号有a、b、c、d，代表对某一平面反映后，再沿某轴滑移该方向的点阵平移周期的分数倍。显然，平移、螺旋轴和滑移反映面都不会是点群的对称元，它们是空间群特有的对称元（见表）。点群和晶系　1830年J.F.C.赫塞尔研究晶体的宏观对称操作的集合，即点群究竟有多少个不同类型时，他导出了32个点群，也就是32个晶类。这一成就为探索晶体物理性质的对称性提供了基础。1848年A.布拉维忽略了晶胞的具体内容，单纯从点阵的平移周期性出发，导出只可能存在14种布拉维点阵。按照布拉维点阵晶胞的形状，又可分为7个晶系，即三斜、单斜、正交、四方、菱形（或三角）、六角、立方晶系。实际菱形点阵可视为一类特殊的六角点阵，可不作为一个独立晶系。下表列出7个晶系与32个点群之间的关系，属于同一点群的晶体是一个晶类，故晶体有32个晶类。空间群　晶体结构的微观对称操作的集合称为空间群。1890年E.C.费奥多罗夫和1891年A.M.熊夫利分别用不同方法独自证明了晶体结构的微观对称操作组合方式只有230种，即230个空间群。32个点群与相容的点阵组合，导出73个空间群，再将旋转轴和反映面分别以螺旋轴和滑移反映面取代，又可导出157个空间群，空间群的国际符号由两部分组成。前置大写拉丁字母表示点阵类型：P、I、R、F分别代表初基、体心、菱形、面心点阵，面A、B、C分别代表侧心在三种晶胞面的点阵。后一部分写出3个对称元，此对称元也可能是螺旋轴和滑移反映面。如F43m是闪锌矿结构的空间群，Fm3m是面心立方结构的空间群，Fd3m是金刚石结构的空间群，其中d代表金刚石结构中某一滑移反映面。磁对称群　1946年A.V.舒布尼科夫引入黑白色作为对称要素，可与磁晶体中正反磁矩对应。20世纪50年代中期，N.V.别洛夫等和B.陶格尔等进行了系统的理论推导，给出90个磁点群和904个磁空间群，足以阐明磁有序晶体结构的对称性，也为这些晶体物理现象的系统描述提供基础。实际上，舒布尼科夫的色群包含更多内容，另有32个点群和747个空间群。因此，色点群共有122个，而色空间群总数是1 651个。高维空间对称群　1984年准晶体问世，它具有二十面体的对称性，突破了传统周期性结构晶体的概念。准晶体具有准周期性和非传统晶体学的空间取向性。在6维空间有826个布拉维点阵，其中有三个6维超简立方、6维超体心立方以及6维超面心立方点阵与3维二十面相的对称性相容。这二十面体对称点群为532，有60个对称操作；或点群53m，有120个对称操作（图2）。